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Revista de Investigación en Administración, Contabilidad, Economía y Sociedad
Metodología para la estimación del drift de la tasa
de cambio (USD/COP) a través de modelos bayesianos
Methodology for the estimation of the drift of the exchange rate
(USD / COP) through bayesian models
Recibido: 15-12-2016 • Aprobado: 10-05-2017 • Página inicial: 155 - Página nal: 172
Elizabeth Cartagena Cardona*
Juan Fernando Rendón García**
Resumen: el comportamiento volátil de la
tasa de cambio USD/COP en la actualidad
y sus efectos sobre la economía; hace ne-
cesario proponer modelos que logren esti-
mar de mejor manera su comportamiento
futuro; que faciliten la implementación de
mecanismos para mitigar los efectos adver-
sos de la volatilidad. La incorporación de
expectativas de expertos a través de mode-
los bayesianos, pueden ser implementados
para mejorar la predicción de esta variable;
el objetivo de este trabajo es proponer una
metodología de estimación del Drift para
la TRM, mediante modelos bayesianos,
basados en información de expertos y su
integración con los datos históricos de
dicha variable. Se ajusta la distribución a
priori y la distribución a posteriori con sus
respectivos parámetros (µ, σ); con base en
estos y por medio del Movimiento Brow-
niano se predice un comportamiento de la
TRM. El estudio concluye que, el modelo
permite tener mejor predicción a largo pla-
zo con la distribución a posteriori ya que
el Drift estimado tiene un comportamiento
más cercano al real.
Palabras clave: drift, función a priori,
función a posteriori, estimación Bayesiana.
* Estudiante de Ingeniería Financiera. Joven Investigadora ITM, del grupo de investigación en Ciencias Administrativas
de la Facultad de Ciencias Económicas y administrativas del Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín - Colombia.
elizabethcartagena61448@correo.itm.edu.co.
Enlace ORCD: http://orcid.org/0000-0003-1568-8285
**
MSc. en Finanzas. Docente e investigador del Grupo de Investigación en Ciencias Administrativas de la Facultad de
Ciencias Económicas y Administrativas del Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín - Colombia.
juanrendon@itm.edu.co
Enlace ORCD: http://orcid.org/
Abstract: Today’s volatile behavior s of
the exchange rate between USD and COP
and its effects in today s economy; makes
necessary to propose models that can be-
tter estimate future behaviors, and that at
the same time facilitates the implementa-
tion on mechanism to mitigate the adverse
effects of volatility. The incorporation of
expert’s expectatives through Bayesians
models could be implemented to improve
the prediction of this variable. The goal of
this work is to propose a drift estimation
methodology for the market representative
rate, through Bayesians models, based in
experts information and its incorporation
with the historical information of this spe-
cic variable. The a priori and a posteriori
distribution are adjusted with their respec-
tive parameters (µ, σ); based in these and
through the Brownian movement it can be
predictable a behavior of the market repre-
sentative rate. The study concludes that the
model allows to have a better long-term
prediction with the posterior distribution
since the estimated Drift has a behavior
closer to the real one.
Keywords: Drift, a priori function, a poste-
riori function, Bayesian estimation.
Artículo resultado de investigación derivado del proyecto
“Metodología para la estimación del drift de la tasa de
cambio (usd/cop) a través de modelos bayesianos” en
el marco del programa "Joven Investigador 2016" del
Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín – ITM.
JEL: F29, G15, C51
Cartagena, E. y Rendón, J.
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Methodologie d'estimation de la dérive des taux
de change (USD/COP) modèles bayésiens par
Résumé: le comportement volatile du taux de change USD / COP aujourd'hui
et ses effets sur l’économie; font nécessaire de proposer des modèles qui
permettent estimer un meilleur comportement futur; pour faciliter la mise
en œuvre de mécanismes pour mitiguer les effets négatifs de la volatilité.
L´Intégration des attentes des experts par de modèles Bayésiens peuvent être
implémenté pour améliorer la prédiction de cette variable. Le but de cet article
est de proposer une méthodologie pour estimer le Drift pour la TRM par des
modèles bayésiens, basés sur des informations d'experts et L´intégration avec
les données historiques de cette variable. Il s’ajuste la distribution a priori
est a posteriori avec ses respectifs paramètres (u, σ) sur la base de celles-ci
et par le mouvement brownien est prévue le comportement du TRM. L'étude
conclut que le modèle permet d'avoir une meilleure prédiction à long terme
avec la distribution a posteriori puisque la Drift estimée a un comportement
plus proche du réel.
Mots-clés: drift, fonction a priori, fonction a posteriori, estimation Bayésienne.
Metodologia para a estimativa do drift da taxa de câmbio
(USD/COP) através de modelos bayesianos
Resumo: o comportamento volátil da taxa de câmbio USD/COP hoje e seus
efeitos sobre a economia e a necessidade de propor modelos para alcançar
melhor estimar o seu comportamento futuro; para facilitar a implementação de
mecanismos para atenuar os efeitos negativos da volatilidade. A incorporação
das expectativas dos peritos através dos modelos bayesianos, podem ser
implementadas para melhorar a predição de esta variável; o objetivo deste
trabalho é propor uma metodologia para estimar o desvio para o TRM,
usando modelos bayesianos, baseada em informações de especialistas e a sua
integração com os dados históricos da variável. Ajusta a distribuição a priori e a
posteriori, distribuição, com os respectivos parâmetros (μ, σ); com base nestes
e por meio do movimento browniano é comportamento previsível do TRM. O
estudo conclui que, o modelo permite que você tenha uma melhor predição de
longo prazo com a distribuição a posteriori, porque o desvio estimado é um
comportamento que é o mais próximo do real.
Palavras-chave: drift, função priori, uma função posteriori, estimativa, Bayes.
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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Introducción
El pronóstico de la tasa de cambio (USD/COP), es una actividad de interés
económico para todos aquellos agentes económicos que se ven afectados por el
riesgo cambiario, en general el gobierno, las empresas, entidades nancieras y los
hogares colombianos sufren los efectos adversos que genera el comportamiento
volátil de dicha variable. La moneda local está pasando por un periodo de fuerte
devaluación, en lo corrido de este año el máximo valor alcanzado de la TRM
ha sido de $3434.89 el 12/02/2016; por lo que implementar mecanismos para
mitigar las consecuencias se hace cada vez más importante.
Según el Banco de la República (2016), la intensidad de los choques sobre la
tasa de cambio produjo una desviación de la inación y sus expectativas de
la meta, por lo que se activaron algunos mecanismos, ya que es un aspecto de
consideración para que el Banco de la República incrementará la tasa de interés
de intervención en 25 puntos básicos y la situó en 7,75%. Además, informa que
el alza en la tasa de cambio fue causa para el incremento de la obligación de la
deuda externa colombiana en dólares, reejando un aumento del 6,7%, al pasar
US$105.701 para el 2015 a US$112.786 millones para febrero del 2016. Este
aumento es resultado de la devaluación del peso.
Debido al riesgo que se enfrentan los agentes por la apreciación o devaluación
del peso frente al dólar, en este trabajo se propone una alternativa diferente para
el pronóstico de la tasa de cambio USDCOP, a partir del uso de las expectativas
dadas por expertos y modelos Bayesianos para la estimación de parámetros, este
artículo tiene como objetivo general proponer una metodología de estimación
para el Drift
3
de la tasa de cambio USDCOP, por medio de la metodología
Bayesiana; se pretende determinar si la estimación Bayesiana puede mejorar la
proyección de la tasa de cambio USDCOP; el resultado obtenido puede ser de
gran utilidad a nivel gerencial para proponer mecanismos de control frente a la
gestión del riesgo cambiario.
Este estudio se organiza en cinco secciones incluyendo la introducción; en la
sección dos se denen los conceptos y características básicas de los modelos
y la implementación del modelo bayesiano para hallar el Drift de la TRM
colombiana, los resultados y su discusión son abordados en la sección tres.
3
Drift en este estudio, hace referencia al valor esperado de la tasa de cambio. El posible comportamiento de la variable;
al combinar los resultados obtenidos de implementar modelos bayesianos y sus distribuciones en un movimiento
browniano geométrico.
Cartagena, E. y Rendón, J.
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Revisión de literatura
La estimación de la tasa de cambio ha sido abordada desde la dimensión
académica por autores como Fayad, Fortich y Vélez (2009) que sugieren realizar
un estudio con datos históricos de 2001 a 2005 basándose en la medición de la
tasa de cambio por medio de la hipótesis de paridad de poder adquisitivo (PPA)
y modelos VAR (vectores autorregresivos), concluyendo que el modelo es
aceptable para predecir la tasa de cambio; Montenegro (2010) propone evaluar
la volatilidad de la TRM mediante los modelos GARCH, el objetivo es medir la
precisión que ofrecen las distintas alternativas a la hora de predecir la volatilidad
futura de la diferencia del logaritmo de la TRM, utilizando los modelos MA,
ARCH y GARCH para estimar la media, varianza y la distribución, para una
muestra comprendida entre enero 2001 y septiembre de 2009. Los resultados
indican que el modelo MA (1) en media y el modelo GARCH (1.1) en varianza
superan otro tipo de especicación, que trate de medir el agrupamiento
de la volatilidad de la TRM colombiana. Los resultados muestran que el
desempeño de los modelos, dependen de la aplicación; el análisis concluye
que esta metodología de medición del riesgo no es muy conable para la
toma de decisiones en el sector privado, en cambio para las mesas de dinero
o administradores de pensiones resultaría favorable la aplicación del modelo
GARCH para la estimación de la volatilidad.
Henao y Rivera (2006) plantean el modelado del índice de tipo de cambio
real (ITCR) mediante redes neuronales; la información utilizada en esta
investigación corresponde al índice de tipo de cambio real efectivo calculado
por el FMI (ITCRFMI) para el peso colombiano frente a 18 países de entre
sus miembros para el período comprendido entre 1989:12 y 2003:10, el cual
es publicado por el Banco de la República. El modelo matemático utilizado
es un Perceptrón Multicapa (MLP, por sus siglas en inglés), equivale a un
modelo estadístico no paramétrico de regresión no lineal que sigue una
distribución normal con media cero y varianza desconocida σ2. Se demuestra
a partir de criterios estadísticos que la serie sigue una dinámica no lineal;
la red neuronal desarrollada captura las relaciones determinísticas de orden
no lineal entre el valor actual de la ITCRFMI y el valor del mes anterior, de
tal forma que los residuales obtenidos son menores en magnitud en relación
con un modelo lineal que usa los mismos regresores. Consecuentemente,
el modelo desarrollado es potencialmente un mejor predictor de la serie en
comparación con un modelo lineal.
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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Metodología
La metodología utilizada para este trabajo de investigación es cuantitativa y
exploratoria, lo cual se precisa a partir de los siguientes planteamientos:
Información de la tasa de cambio
La tasa de cambio representativa del mercado (TRM) es un índice, que
corresponde a la cantidad de pesos que se deben pagar por un dólar de los Estados
Unidos, la volatilidad de la tasa de cambio depende de la oferta y la demanda.
Se calcula con base en las operaciones de compra y venta de divisas entre
intermediarios nancieros que transan en el mercado cambiario colombiano,
con cumplimiento el mismo día cuando se realiza la negociación de las divisas.
Actualmente la Superintendencia Financiera de Colombia es la que calcula y
certica diariamente la TRM con base en las operaciones registradas el día
hábil inmediatamente anterior. La TRM del día hábil siguiente a un día festivo
de los bancos de la Reserva Federal de los Estados Unidos de América, será
la misma TRM vigente en el día festivo. Por lo tanto, no se calculará la TRM
con las operaciones realizadas en un día festivo de los bancos de la Reserva
Federal de los Estados Unidos de América (Banco de la República, 2016). En
este artículo los resultados obtenidos se tomarán como una aproximación de la
tasa de cambio USDCOP.
Expectativas
Para realizar este artículo se hace necesaria la recopilación de una serie de datos
y así lograr el modelo de Bayes. La base de datos utilizada, consiste en las
expectativas dada por varios expertos que basados en sus criterios proyectaron
el valor de la tasa de cambio colombiana TRM, son alrededor de 16 a 23 agentes
encuestados cada mes.
La lista de expertos está conformada por bancos tales como MUFG, es uno
de los grupos nancieros más importantes del mundo; también se encuentra
JPMorgan Chase, una de las empresas de servicios nancieros más antigua
del mundo, Scotiabank es uno de los cinco grandes bancos de Canadá; en
general la opinión del comportamiento futuro de la TRM es dada por algunos
de los principales bancos de Europa, Estados Unidos y Canadá. También la
expectativa es anunciada por algunas casas de Bolsa como la Casa De Bolsa Ve
Por Mas SA de CV; dentro de esta lista se cuenta con la participación del Banco
de Bogotá, entidad nanciera colombiana.
Cartagena, E. y Rendón, J.
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Estimación bayesiana adaptada a un modelo Browniano Geométrico
Se requiere hallar el Drift asociado a un proceso estocástico, a través de un
modelo bayesiano que permite incluir expectativas o probabilidades subjetivas.
Para Hernández (2006) la estadística bayesiana, emplea gran parte de los
fundamentos de la estadística clásica, pero permite que las percepciones subjetivas
acerca del comportamiento de un parámetro o de una distribución de probabilidad
sean incorporadas al análisis y, por tanto, a las inferencias que se obtienen de
la distribución de la población y de sus parámetros. Para Levin y Rubin (2004)
este teorema es conocido también como el teorema de las causas, utilizado para
obtener diversos resultados relacionados con probabilidad condicional.
Basándose en una distribución a priori de los parámetros de una variable
aleatoria X, en una función de verosimilitud y en una muestra; se encuentra la
distribución a posteriori de los parámetros de la variable aleatoria X. Se tiene
el modelo;
f(θ|X)= f(θ)*F(X|θ)*k
(1)
Donde: dada una variable aleatoria X y un vector de parámetros, asociados a la
función de distribución de X:
f(θ) Es la función a priori de los parámetros de la variable aleatoria X.
F(X|θ) Es la función de verosimilitud.
f(θ|X) Es la función a posteriori.
k Es una constante.
Por algún método de estimación, como por ejemplo el de máxima verosimilitud
o la minimización de una función de costo, se encuentran los parámetros a
posteriori de θ f(θ|X).
La inferencia bayesiana
A partir de una muestra y el uso del teorema, salen conclusiones de un grupo
más grande que representa la muestra, es un proceso de reajuste de medidas de
creencia al conocerse nuevos axiomas (aparición de nueva información). Esta
técnica estadística en muy apropiada para reunir las opiniones de expertos en
el análisis de datos.
Una característica básica de la inferencia Bayesiana según Obregón (1975), es
que, “dado un resultado experimental especíco, una aplicación del teorema
de Bayes permite obtener las probabilidades (subjetivas pero afectadas
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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por la nueva evidencia) correspondientes a las diferentes alternativas. Estas
probabilidades (probabilidades a posteriori) constituyen el producto nal de la
estadística Bayesiana”.
Análisis conjugado para datos normales
Jackman (2009), arma que la distribución normal es enormemente popular
en el modelado estadístico, y muchas variables que no parecen tener una
distribución normal puede ser transformadas para aproximarse mejor a la
normalidad, además a medida que aumenta el tamaño de la muestra los
parámetros se aproximan a la distribución normal.
Para los autores Box & George (1973), una de las situaciones más frecuentes
en la práctica estadística es aquella en la que se encuentran con datos que
provienen de una población Normal. Esta situación introduce un grado de
complejidad, pero también puede ser resuelto de forma inmediata bajo la
perspectiva bayesiana. Esta complejidad viene determinada por el hecho de
que se puede considerar al problema de la inferencia en poblaciones normales
como un problema con dos parámetros de interés. Por ejemplo, supóngase el
caso más sencillo de una observación muestral
(µ│TRMt) ~ N (µ,σ
2
), y por lo
tanto el parámetro de interés son (μ,σ
2
).
Análisis de la conjugación de datos normales con σ conocida
Considere el caso en que se tiene n observaciones sobre una variable Y, si cada
observación se modela como
Y ~ N(μ,σ
2
), siendo μ desconocida y conociendo σ.
La inferencia bayesiana para μ en este caso procede como de costumbre; se
multiplica la verosimilitud para μ por una distribución a priori para μ, para
obtener la distribución a posteriori p(μ│TRM
t
), donde TRMt
es una muestra
del índice hasta el momento t. Si las creencias anteriores sobre μ se representan
con una distribución normal, entonces dado un modelo para los datos normal,
la distribución a posteriori para μ es también una distribución normal. Se tiene
una distribución a posteriori así:
μ
0
= Promedio de la distribución a priori.
σ
0
-2
= Desviación de la distribución a priori.
ȳ = Promedio de la muestra.
n= Número total de la muestra.
σ
2
= Desviación de la población, (Jackman, 2009).
Cartagena, E. y Rendón, J.
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Movimiento Browniano o proceso Wiener
El movimiento browniano se denota en un modelo matemático (Hull, 2012):
{w
t
: t ≥ 0} (3)
Parte del supuesto de que el ruido blanco es totalmente aleatorio por lo que lo
hace impredecible.
Sea w
t
un proceso de Wiener, con las siguientes propiedades:
Esta diferencia puede ser calculada como la suma de muchos periodos o de
muchos cambios. El proceso empieza en el momento 0.
Donde es una normal estándar ~ N (0,1); tiene trayectorias continuas.
Es independiente de los cambios son aleatorios, ninguno depende del
otro; incrementos independientes.
La variable aleatoria tiene distribución normal estándar ~ N (0, ); media 0 y
varianza T (para ). Esto implica que sigue un proceso de Markov
(Tsay, 2005).
Wiener generalizado
Sea y
t
un proceso estocástico, y denotemos como pequeños cambios en se
obtiene:
Donde:
a y b son constantes.
a
Sería la razón de crecimiento esperada de x por unidad de tiempo.
b
Sería la razón de crecimiento de la varianza (volatilidad al cuadrado).
adt Sería el DRIFT, la parte determinística del modelo (el parámetro a, le da
tendencia al proceso de Wiener). La tendencia determinística implica que
no existe incertidumbre sobre la evolución futura, conocido el pasado es
posible prever el comportamiento futuro. No es realista.
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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Revista de Investigación en Administración, Contabilidad, Economía y Sociedad
bdw
t
Es un proceso de Wiener simple, que es la parte aleatoria del modelo.
Tendencia estocástica del modelo, no se tiene conocimiento seguro del
futuro, siendo más realista.
En el proceso de Wiener generalizado la media y la varianza no son constantes
en el tiempo.
DRIFT
Lema de Itô
El concepto principal es la integral de Itô, lleva el proceso de Wiener y lo aplica
en activos.
Proceso de Itô= dx
t
= a(x,t)dt + b(x,t)dw (5)
Donde a (x, t) y b (x, t) son funciones determinísticas.
Herramienta desarrollada por Kiyoshi Itô para la integrar y diferenciar
procesos estocásticos, la integral de Itô es el centro del análisis estocástico, ya
que facilita la comprensión matemática de sucesos aleatorios, el diferencial de
Itô se dene como:
df
t
=
Donde f es un proceso estocástico que depende de X.
Esta fórmula puede obtenerse haciendo uso de las series de Taylor orden 2.
Movimiento browniano geométrico o Log-Normal
Este modelo se basa en la ecuación diferencial estocástica tipo Itô. (Hull 2012).
Donde:
movimiento browniano o proceso estocástico de Wiener.
S
t
=
Es el valor del subyacente en el instante t.
µ= Razón de crecimiento de s; rentabilidad continua esperada (Drift o
tendencia).
σ= Parámetro que representa la volatilidad.
Cartagena, E. y Rendón, J.
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Modelo browniano geométrico aplicando el cálculo de Itô se obtiene:
Implementación del modelo bayesiano
Para llevar a cabo este modelo se calcula el rendimiento continuo compuesto
anualizado a las expectativas; realizando un Bootstrap a dichas rentabilidades
de los periodos requeridos transformando las muestras en distribuciones
normales y lograr así obtener las distribuciones a priori. Para conseguir los
parámetros de la distribución a posteriori (σ conocida) se halla la volatilidad al
comportamiento de la TRM, mediante un modelo GARCH; con los parámetros
hallados de la distribución a priori y el valor de la volatilidad estimada, se
calcula los parámetros de la distribución a posteriori, basándose en la inferencia
bayesiana sobre proporciones o probabilidades (desconocida) y distribuciones
conjugadas; dentro de estas distribuciones conjugadas se encuentra el análisis
de la conjugación con datos normales con sigma conocida.
Volatilidad
Otro parámetro que se requiere estimar para un proceso estocástico es la
volatilidad, una de las formas más practicas es mediante el modelo GARCH,
que es un modelo de volatilidad dinámica. Gujarati y Porter (2009) el principal
problema para hacer pronósticos a la variable (tasa de cambio) son los cambios
o volatilidades que esta presenta en el mercado, trayendo con esto el fenómeno
de acumulación de volatilidad autorregresiva, lo que impide hacer pronósticos
más acertados.
Basándose en el modelo condicional ARCH que introduce Engle (1982), en
los cuales considera que la varianza evoluciona a través del tiempo, estos
modelos tienen características que los hacen aptos para modelar los cambios de
la volatilidad de un periodo a otro (la predicción del valor actual depende del
valor obtenido de la variable aleatoria en el tiempo Y
t-i
; la volatilidad de hoy
depende de la de periodos anteriores).
Luego, el modelo generalizado ARCH (GARCH) que introduce Bollerslev
(1986), propone incluir rezagos de la varianza, siguiendo los modelos clásicos
de series de tiempo. Estos modelos sirven para describir el proceso de
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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En-Contexto 5(7) • julio - diciembre 2017 • Medellín - Colombia • página 165 de 328 ISSN: 2346-3279
Revista de Investigación en Administración, Contabilidad, Economía y Sociedad
volatilidad del rendimiento de un activo. La varianza del error está relacionada
con los términos del error al cuadrado de varios periodos en el pasado, Gujarati
y Porter (2009), para ellos da nombre a la ampliación del modelo ARCH que
realizó Bollerslev (1986) para los órdenes (p, q), y Taylor (1986), para el caso
especíco de los órdenes 1.1. El modelo GARCH (p, q) se podría escribir como:
Donde:
Y= Es un proceso estocástico con media µ.
e
t
= Es el error de estimación.
t
=
Es variable ruido blanco con media 0 y varianza 1.
σ
t
= Es la volatilidad del proceso estocástico Y.
β
i
y α
j
=
Son parámetros del modelo.
A través del movimiento Browniano se predice un comportamiento para la TRM,
basados en los parámetros hallados de las distribuciones a priori y a posteriori.
Resultados
El modelo bayesiano consta de una distribución a priori, para obtener dicha
distribución se realiza un Bootstrap a las expectativas de los periodos a analizar,
obteniendo los siguientes parámetros:
Figura 1. Marzo 2015- marzo 2016.
Elaboración propia, @Risk.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5.0%
5.9%
5.0%
5.9%
90.0%
68.2%
-0.15
-0.15
-0.10
0.10
-0.05
0.05
0.00
Cartagena, E. y Rendón, J.
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En-Contexto 5(7) • julio - diciembre 2017 • Medellín - Colombia • página 166 de 328 ISSN: 2346-3279
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Tabla 1.
Parámetros de la distribución a priori
Parámetro Valor
Media 0.01578
Desviación estándar 0.05661
Elaboración propia, @Risk.
Modelos GARCH
La estimación bayesiana tiene como resultado una distribución a posteriori, la
cual mediante un modelo Garch se determina el valor de la volatilidad de la
TRM, para implementar la teoría del análisis de conjugación de datos normales
con σ conocida, y hallar así el Drift de la distribución a posteriori.
La Figura 2 muestra el comportamiento de la TRM durante marzo 2013 a marzo
2015, posteriormente se estima la volatilidad para tal periodo.
Figura 2. Comportamiento TRM (marzo 2013 a marzo 2015)
Elaboración propia, 2016.
Mediante el modelo GARCH (0,1), se estima la volatilidad para cada periodo
evaluado y se obtiene:
Metodología para la estimación del drift de la tasa de cambio...
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Se estima una volatilidad 0.071 para largo plazo, en el siguiente gráco se
observa la estimación del comportamiento de la varianza.
Figura 3. Estimación del comportamiento TRM
Elaboración propia, 2016.
A continuación, se calcula la distribución a posteriori, mediante la conjugada
de datos normales. Se obtiene µ= 0.1151 y σ= 0.002587. Resultados que se
representan en la Figura 4, considerando un comportamiento normal se tiene:
Figura 4. Marzo 2015 - marzo 2016
Elaboración propia, 2016.